Prime factors of generalized Fermat numbers  Fm(12)
and complete factoring status

Compiled by Wilfrid Keller

Factorizations in standard notation

 Prime:   F0(12) = 13
 F1(12) = 5 · 29
 F2(12) = 89 · 233
 F3(12) = 17 · 97 · 260753
 F4(12) = 153953 · 1200913648289
 F5(12) = 769 · 44450180997616192602560262634753
 F6(12) = 36097 · 81281 · 69619841 · 73389730593973249 ·    
77941952137713139794518937770197249
 F7(12) = 257 · P136
 F8(12) = 8253953 · 295278642689 · 5763919006323142831065059613697 ·
                45227165404509537635482902446862065510716804453718\
9917947981878284544891082485331470888529210881 · P132
 F9(12) = C553
F10(12) = 6528575489 · 24110712231602691105891902802257921 · C1061
F11(12) = 1724417 · 4550657 · 159522817 ·    
6306638252521651010964783566849 · C2159
F12(12) = 40961 · 11304961 · 77651969 ·
838668475199050951255833586002275246081 · C4362
F13(12) = 10201930296100387864577 · C8819
F14(12) = 163841 · 76836942020609 · 2175819405561659393 ·    
9082188067711220471568498689 · C17616
F15(12) = 65537 · 1036475984590405633 · C35345
F16(12) = 402995281921 · C70714
F17(12) = 112213463751061467824129 · C141428
F18(12) = 5767169 · 21495809 · 147849217 · 4345302542670888961 · C282860
F19(12) = 13631489 · 158334977 · 27286044673 · C565777
F20(12) = C1131604
F21(12) = 1711276033 · 9570286043137 · U2263185

The above prime factors  k · 2n + 1  for  m > 7

m k n     Year     Discoverer
8 16121 9 1992     H. Dubner
576716099 9 1992     H. Dubner
k1 [28 digits] 10 1999     R. P. Brent
[93 digits] 9 2009     T. Womack & B. Dodson
[129 digits] 9 2009     T. Womack & B. Dodson
10 3187781 11 1992     H. Dubner
[32 digits] 11 2005     N. S. Melo
11 421 12 1992     H. Dubner
1111 12 1992     H. Dubner
19473 13 1992     H. Dubner
k2 [28 digits] 12 2002     T. Nohara
12 5 13 1992     H. Dubner
345 15 1992     H. Dubner
9479 13 1992     H. Dubner
[36 digits] 13 2011     G. Reynolds
13     622676409674095939     14 2002     T. Nohara
14 5 15 1992     H. Dubner
2344877381 15 2002     T. Nohara
66400738695119 15 2008     G. Reynolds
    277166383902319960680191 15 2009     G. Reynolds
15 1     16 1992     H. Dubner
3953842104303     18 2007     J. Berg
16 1537305 18 1992     W. Keller
17 428060393337484237 18 2012     G. Reynolds
18 11 19 1992     H. Dubner
41 19 1992     H. Dubner
141 20 1992     H. Dubner
518000428995 23 2008     G. Reynolds
19 13 20 1992     H. Dubner
151 20 1992     H. Dubner
13011 21 1992     W. Keller
21 51 25 1992     H. Dubner
1140867 23 1992     W. Keller

28 digit  k1 = 5628827154612444170961972279
28 digit  k2 = 1539706604619543703848824113
32 digit  k  = 11772808706837251516548780665165
36 digit  k  = 102376522851446649323221873291293365
93 digit  k  = 88334307430682690694302543841527471700618758698669\    
9058492152106024501740395479163029079158615

Prime factors  k · 2n + 1  of numbers  Fm(12)  for larger  m

m k n     Year     Discoverer
23 491997 26 1992     W. Keller
26 327 30 1992     H. Dubner
29 49 30 1992     H. Dubner
30 63591 32 1992     W. Keller
    11837455107717 36 2012     R. Kapek & Woltman
33 634937545 34 1994     A. Björn & H. Riesel
34     10253706681 36 2001     L. N. Durman
38 3 41 1969     H. Riesel
26534990057 39 2001     L. N. Durman
39 21 41 1992     H. Dubner
40 15 44 1992     H. Dubner
123 46 1992     H. Dubner
318471 43 1992     W. Keller
41 11558519557 42 2008     G. Reynolds
42 11 43 1992     H. Dubner
44 2443235711 45 2001     L. N. Durman
45 13143187 46 1993     A. Björn & H. Riesel
46 5450931357 48 2001     L. N. Durman
49     1416628437567 51 2012     S. Batalov & Woltman
51 7 52 1992     H. Dubner
241853338275 54 2008     G. Reynolds
55 1127150401 56 2001     L. N. Durman
56 6071 57 1992     W. Keller
58 1125 60 1992     H. Dubner
    4192914381711 61 2012     S. Batalov & Woltman
60     19238035476725 61 2014     S. Batalov & Woltman
63 26923 64 1992     W. Keller
64 9 67 1969     H. Riesel
215735 65 1992     W. Keller
66 1254537 70 1993     W. Keller
68 4398833 69 1993     W. Keller
73 186647487943 74 2008     G. Reynolds
77 151240058985 79 2008     G. Reynolds
78 317928723 80 1993     A. Björn & H. Riesel
86 81 89 1992     H. Dubner
87 135 90 1992     H. Dubner
28559527623 89 2008     G. Reynolds
89 1165481937 92 2004     J. Fougeron
91 7 92 1992     H. Dubner
97 817399 98 1992     W. Keller
99 200041 100 1992     W. Keller
101 2457308727 103 2008     G. Reynolds
111     76185381307047 114 2012     J. Hallett & Woltman
113 26708241 116 2002     J. Fougeron
116     9940718073195 119 2012     J. Hallett & Woltman
123 60887745 125 2002     J. Fougeron
126 5 127 1992     H. Dubner
1031 127 1992     H. Dubner
127 158721 129 1992     W. Keller
4370296035 129 2008     G. Reynolds
128 27731967 131 2002     J. Fougeron
129 22839 133 1992     W. Keller
132 2366111 133 1996     A. Björn & H. Riesel
134 5044835 135 2002     J. Fougeron
3734522297 135 2008     G. Reynolds
135     261716497305 137 2012     S. Batalov & Woltman
136 30153 140 1992     W. Keller
15439989 141 2002     J. Fougeron
139 161814345 141 2003     J. Fougeron
143 43 144 1992     H. Dubner
8019 146 1992     W. Keller
144 388330299 146 2003     J. Fougeron
149 17100988587 152 2008     G. Reynolds
150 3625619 151 2002     J. Fougeron
155     523390417275 160 2013     S. Batalov & Woltman
173     322504582089 178 2012     S. Batalov & Woltman
180 2394413 181 1996     A. Björn & H. Riesel
185 21 187 1992     H. Dubner
196 21912430941 199 2008     G. Reynolds
202 2655 204 1992     W. Keller
204 9 211 1992     H. Dubner
206 15961621533 210 2014     S. Batalov & Woltman
207 3 209 1969     H. Riesel
212 17968167 216 2003     J. Fougeron
215 31 216 1992     H. Dubner
218 175726695 220 2008     A. Wesołowski
219 496071789 221 2008     A. Wesołowski
226 207 231 1992     H. Dubner
237 817 238 1992     H. Dubner
274 9703931 275 2002     J. Fougeron
307 13 308 1992     H. Dubner
315 200012313 317 2008     A. Wesołowski
319 7 320 1992     H. Dubner
334 2495 335 1992     W. Keller
351 3 353 1992     H. Dubner
224607 354 1995     A. Björn & H. Riesel
355 1453160311 356 2009     G. Reynolds
408 113 409 1992     H. Dubner
419 211027 420 1995     A. Björn & H. Riesel
441 833469 446 1995     A. Björn & H. Riesel
475 11245051 476 2003     N. S. Melo & Fougeron
485 283 486 1992     H. Dubner
493 6738028987 494 2009     G. Reynolds
513 15 517 1992     H. Dubner
516 39 518 1992     H. Dubner
529 597 534 1992     H. Dubner
556 6965 557 1993     W. Keller
558 716759 559 1995     A. Björn & H. Riesel
561 56075097 564 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
578 63963 580 1994     A. Björn & H. Riesel
580 4369229 581 2003     N. S. Melo & Fougeron
587 596115 590 1995     A. Björn & H. Riesel
622 5525 623 1993     W. Keller
639 13245 642 1993     W. Keller
640 178839459 642 2009     G. Reynolds
713 1233 716 1992     H. Dubner
730 598293 732 1995     A. Björn & H. Riesel
765 17031 768 1993     W. Keller
779 32283675 781 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
837 861 839 1992     H. Dubner
854 87339 857 1994     A. Björn & H. Riesel
886 48983661 893 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
923 13887541 924 2004     J. Fougeron
966 957 972 1992     H. Dubner
968 11371565 969 1998     T. Nohara & Gallot
991 929059357 992 2009     G. Reynolds
1010 695 1011 1992     H. Dubner
1052 29 1053 1992     H. Dubner
1120 21327093 1124 2007     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1178 299 1179 1992     H. Dubner
1243 609 1245 1992     H. Dubner
1292 32841 1295 1997     W. Keller
1310 57 1312 1992     H. Dubner
1053 1313 1992     H. Dubner
1318 118479 1321 2001     N. S. Melo & Gallot
1348 1781 1349 1992     H. Dubner
1350 1152167301 1353 2011     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1397 34323 1400 1997     W. Keller
1410 75897 1415 1997     W. Keller  (Prime: J. McLean)
1540 113 1541 1992     H. Dubner
1562 538716257 1563 2009     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1610 2070677 1611 2003     N. S. Melo & Fougeron
1646 90191 1647 1997     W. Keller  (Prime: J. McLean)
1701 106285 1702 2001     N. S. Melo & Gallot
1803 7 1804 1992     H. Dubner
2228 11681 2229 1996     A. Björn & H. Riesel
2288 69 2290 1992     H. Dubner
2302 13475 2303 1996     A. Björn & H. Riesel
2371 1873 2372 1995     A. Björn & H. Riesel
2408 3089559 2410 2011     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
2497 1165961269     2498 2014     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
2687 2279511007     2688 2015     T. Nohara & Fougeron
2692 1610679875     2693 2015     T. Nohara & Fougeron
2713 57775399 2714 2012     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
2723 111403 2724 2003     N. S. Melo & Fougeron
2731 21 2733 1992     H. Dubner
2811 3 2816 1992     H. Dubner
2814 129 2817 1992     H. Dubner
2852 102223595     2853 2012     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
2872 15 2875 1992     H. Dubner
2877 147384463     2878 2012     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
3003 663468339     3009 2014     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
3158 129 3165 1992     H. Dubner
3560 3063 3562 1996     A. Björn & H. Riesel
3718 428711 3719 2003     N. S. Melo & Fougeron
4325 28434891 4328 2011     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
4343 43 4344 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
4726 29 4727 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
4820 290175 4823 2004     N. S. Melo & Fougeron
5144 2188019 5145 2003     J. Fougeron
5535 131385 5538 2004     N. S. Melo & Fougeron
5704 3033 5708 1998     W. Keller & Gallot
5946 5 5947 1992     H. Dubner
(Prime: A. O. L. Atkin & N. W. Rickert 1979)
6357 3041661 6361 2004     T. Nohara & Fougeron
6476 12639 6479 2000     W. Keller & Gallot
6803 1174765 6804 2008     S. Harvey, Fougeron & Penné
6846 711 6851 1995     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
6999 145 7000 1992     H. Dubner
7103 166923 7108 2004     N. S. Melo & Fougeron
7926 29 7927 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
8184 76775 8185 2001     J. McLean, G. Gallagher & Gallot
8410 41 8411 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
9429 9 9431 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
9445 4927 9446 1999     T. Nohara & Gallot
9729 897 9732 1995     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
10388 6166511 10389 2012     S. Batalov, Jobling & Fougeron
10420 65 10421 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
10812 13628405 10813 2013     T. Nohara, Fougeron & Penné
10918 14654823 10920 2013     T. Nohara, Fougeron & Penné
11133 142383 11138 2005     S. Harvey, Fougeron & Woltman
12187 81 12189 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
12460 63863 12461 2005     S. Harvey, Fougeron & Woltman
12887 2996017 12888 2012     T. Rajala, Brazier & Fougeron
13234 41 13235 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
14011 259551 14013 2010     T. Nohara, Fougeron & Penné
15448 113193 15453 2008     S. Harvey, Fougeron & Penné
16677 45 16679 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
16843 615765 16847 2010     T. Nohara, Fougeron & Penné
18740 69 18743 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
19425 1815835 19426 2011     T. Nohara, Fougeron & Penné
20558 1500089 20559 2012     P. Saridis, Jobling, Penné & Gallot
20730 51 20733 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
20906 3 20909 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1985)
21163 5851 21164 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
22601 9 22603 1992     H. Dubner
22746 75 22750 1998     Y. Gallot  (Prime: P. Demichel 1996)
23545 3055 23546 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
25380 215 25381 1998     R. Ballinger & Gallot
26606 5 26607 1992     H. Dubner
27601 7489 27602 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
28283 81 28285 1998     Y. Gallot  (Prime: T. Taura 1996)
29186 239 29187 1998     R. Ballinger & Gallot
31129 28735 31130 2008     R. Keiser, Fougeron & Penné
31200 83 31201 1998     Y. Gallot  (Prime: P. Demichel 1997)
34222 15 34224 1993     H. Dubner
38670 1089 38674 2001     N. S. Melo & Gallot
40046 142539 40054 2011     T. Rajala, Brazier & Fougeron
42663 3 42665 1993     H. Dubner  (Prime: J. Young)
44689 669 44691 2001     G. Axelsson, Jobling, Woltman & Gallot
46862 975 46864 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
47130 6419 47131 2001     J. Fougeron
61441 16597 61442 2009     R. Keiser, Fougeron & Penné
70852 1209 70855 2003     M. R. Eaton & Gallot
80004 11925 80011 2000     D. Underbakke & Gallot
80233 51949 80234 2009     A. Cano & Fougeron
85189 8017 85190 2008     P. Samidoost & Fougeron
86650 7349 86651 2008     P. Samidoost & Fougeron
95329 7 95330 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
95735 295 95736 1998     M. Misztal & Gallot
116355 1665 116359 2008     S. Harvey, Fougeron & Penné
126999 9 127003 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
147070 9 147073 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
149141 9 149143 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
149145 19 149146 1998     Y. Gallot
157167 3 157169 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
173546 237 173551 2004     J. Fougeron
184288 15 184290 1998     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
187936 413 187937 2005     M. Rodenkirch, Jobling & Fougeron
188359 1185 188361 2005     P. Benson, Jobling, Woltman & Fougeron
212481 817     212482 2005     J. Metcalf & Gallot
213319 3     213321 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
217535 7477     217536 2008     A. Wesołowski
(Prime: D. Stones, Jobling & Penné 2005)
218549 37     218550 2001     P. J. H. Dodson & Gallot
227333 73     227334 1999     T. Taura & Gallot
230801 165     230803 2003     N. S. Melo & Fougeron
(Prime: K. Odermatt & Gallot 2002)
290746 1011     290748 2006     P. Benson, Jobling, Penné & Fougeron
303088 3     303093 1998     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
353724 945     353727 2006     P. Samidoost, Fougeron & Woltman
362763 3     362765 2002     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
376950 119     376951 2006     H. Overmann & Gallot
382447 3     382449 1999     J. B. Cosgrave & Gallot
394572 69     394574 2008     P. Samidoost, Fougeron & Penné
460693 1791     460696 2009     S. Harvey, Fougeron & Penné
461077 9     461081 2003     T. Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
495727 243     495732 2007     R. Keiser, Jobling, Penné & Woltman
585985 195     585988 2008     W. Keller & Fougeron
(Prime: J. Bohanon, Jobling & Penné 2007)
609641 3105     609645 2011     R. Fredriksen, Reynolds, Penné & Fougeron
705684 75     705688 2008     S. Harvey, Reynolds, Penné & Fougeron
727814 59     727815 2008     S. Harvey, Reynolds, Penné & Fougeron
804533 7     804534 2003     K. Odermatt & Gallot
823629 1815     823632 2012     G. Granowski, Reynolds, Penné & Fougeron
886070 11     886071 2005     M. R. Eaton, Jobling, Woltman & Gallot
916800 113     916801 2009     R. Eckhard, Fougeron & Penné
1087199 93     1087202 2010     S. Harvey, Reynolds, Penné & Fougeron
1130881 33     1130884 2006     R. Keiser, Jobling, Penné & Fougeron
1153761 5245     1153762 2013     S. Brown, Reynolds, Penné & Fougeron
1211487 25     1211488 2005     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
1320486 5     1320487 2002     M. Toplic & Gallot
1669797 55     1669798 2011     M. Karevik, Reynolds, Penné & Fougeron
1686047 63     1686050 2011     L. Vogel & Fougeron
(Prime: B. Dodson, Reynolds & Penné)
1774705 129     1774709 2013     A. Martinik, Reynolds, Penné & Fougeron
1988278 101     1988279 2013     B. Kus, Reynolds, Penné & Fougeron
2139911 7     2139912 2007     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2145351 3     2145353 2003     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782 3     2478785 2003     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2543549 9     2543551 2011     S. Brown, Reynolds, Penné & Fougeron
2691960 11     2691961 2013     S. Batalov, Reynolds & Fougeron
2915953 7     2915954 2008     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot

Summary of factoring status for numbers  Fm(12)

Prime   m = 0
Completely factored m = 1, 2, 4, 5, 7 (two factors each),
       3 (three factors), 6, 8 (five factors each)
Four prime factors known m = 11*, 12*, 14*, 18*
Three prime factors known m = 19*, 40
Two prime factors known m = 10*, 15*, 21, 30, 38, 51, 58, 64, 87, 126, 127,
       134, 136, 143, 351, 1310
Only one prime factor known m = 13*, 16*, 17*, 23, 26, 29, 33, 34, 39, 41, 42, 44,
       and 230 values of  m  with  42 < m ≤ 2915953
Composite but no factor known   m = 9, 20GR, 22GR
Character unknown   m = 24, 25, 27, 28, 31, 32, 35, 36, 37, 43, 47, 48, . . .
* Cofactor composite   GR G. Reynolds, May 2008 and August 2008

319 prime factors known
275 numbers  Fm(12)  known to be composite

Count of factors according to difference  nm

nm   = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Frequency 153,   67,   52,   22,   16,   4,   4,   1


 Full names of researchers 
with specification of contributions to bases  b = 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12

Names given without initials in the discoverer column above refer to an indirect involvement of programmers
whose software was essential for the discovery of the particular prime factor: Brazier (PPSieve),
Fougeron (FermFact, PFGW), Gallot (Proth), Jobling (NewPGen), Penné (LLR), Reynolds (Srsieve),
Woltman (PRP, mmff).

Please send new factors to Wilfrid Keller.


Last modified: February 23, 2017.