Prime factors of generalized Fermat numbers  Fm(6)
and complete factoring status

Compiled by Wilfrid Keller

Factorizations in standard notation

 Primes:   F0(6) = 7,   F1(6) = 37,   F2(6) = 1297
 F3(6) = 17 · 98801
 F4(6) = 353 · 1697 · 4709377
 F5(6) = 2753 · 145601 · 19854979505843329
 F6(6) = 4926056449 · 447183309836853377 · 28753787197056661026689
 F7(6) = 257 · 763649 · 50307329 · 3191106049 · 2339340566463317436161 ·    
2983028405608735541756929 · 18247770097021321924017185281
 F8(6) = 18433 ·
    69615986569139423375849495295909549956813828853888948633601 · P137
 F9(6) = 80897 · 3360769 · 12581314681802812884728041373153281 ·
    3513902440204553274892072241244613302018049 · P311
F10(6) = 376037377 · 916326983681 · C777
F11(6) = 96479889653761 · 27235071532927521153002936160735956993 · C1543
F12(6) = 825168562105301526233089 ·
95784065216473934511681790307842080769 · C3126
F13(6) = 86958504245590708098930120015173020696577 · C6334
F14(6) = 18220289247208144897 · C12730
F15(6) = 65537 · C25494
F16(6) = 124346659627466753 · C50980
F17(6) = 1192970340246662212485121 · C101970
F18(6) = 1877597356032001 · C203973
F19(6) = 13631489 · C407969
F20(6) = 26560667903774949377 · 522767209448794182647809 · C815908
F21(6) = 52787303940097 · C1631888
F22(6) = 58460259483649 · U3263790

The above prime factors  k · 2n + 1  for  m > 7

m k n     Year     Discoverer
8 9     11 1969     H. Riesel
[53 digits] 20 2001     R. D. Silverman
[133 digits] 11 2001     R. D. Silverman
9 79 10 1969     H. Riesel
1641 11 1969     H. Riesel
[31 digits] 11 2004     N. S. Melo
[39 digits] 13 2007     N. S. Melo
[308 digits] 10 2007     N. S. Melo
10 45903 13 1969     H. Riesel
447425285 11 1992     W. Keller & R. P. Brent
11     1472166285 16 1992     H. Dubner
    k1 [34 digits] 12 2012     G. Reynolds
12     50364292120684907607 14 2007     J. Berg
k2 [34 digits] 14 2010     G. Reynolds
13 [37 digits] 14 2015     T. Rayala & Woltman
14 139009775140443 17 2002     T. Nohara
15 1 16 1969     H. Riesel
16 948689724941 17 2007     J. Berg
17 2275410347455334115 19 2012     G. Reynolds
18 1790616375 20 2001     L. N. Durman
19 13     20 1969     H. Riesel
20 12665113403213     21 2013     S. Batalov & Woltman
124637415277670427     22 2012     S. Batalov & Woltman
21 6292737 23 1993     W. Keller
22 3484503 24 1992     W. Keller

53 digit  k = 66390978402270720840310569091710615116895512441529225
31 digit  k = 6143220059474029728871113951735
39 digit  k = 428943168970282382188973662261305334719
34 digit  k1 = 6649187385968633093994857461117177
34 digit  k2 = 5846195386747676666972765521718877
37 digit  k = 5307525893895917242366340332957337689

Prime factors  k · 2n + 1  of numbers  Fm(6)  for larger  m

m k n     Year     Discoverer
23 2426623 24 1992     W. Keller
7118700177 30 2001     L. N. Durman
24 886872509 25 1994     A. Björn & H. Riesel
25 37 26 1969     H. Riesel
1137 27 1969     H. Riesel
4725 28 1992     H. Dubner
26 338919202959 29 2008     G. Reynolds
27 193 28 1969     H. Riesel
    18269683479909 31 2012     R. Kapek & Woltman
32 1670619 35 1992     W. Keller
33 21195 35 1992     W. Keller
11916464608789 34 2012     R. Kapek & Woltman
34 70407666647 35 2008     G. Reynolds
35 3 41 1969     H. Riesel
2601 40 1992     W. Keller
60727 36 1992     W. Keller
36 21 41 1992     H. Dubner
37 78972104451 41 2008     G. Reynolds
9215355757689 39 2012     S. Batalov & Woltman
    11517057315943 38 2012     R. Kapek & Woltman
39 2517 43 1992     W. Keller
40 191 41 1992     H. Dubner
567915 43 1992     W. Keller
    59185852081985 41 2012     R. Kapek & Woltman
42 9360659 43 1993     W. Keller
43 11735157 48 1993     A. Björn & H. Riesel
44 8249 45 1992     W. Keller
47 712687 48 1992     W. Keller
49 367367730703 50 2008     G. Reynolds
50 1025 51 1992     H. Dubner
54 1364317255533 58 2012     S. Batalov & Woltman
56 509471 57 1992     W. Keller
57 75 60 1992     H. Dubner
118992768937 58 2008     G. Reynolds
59 2212183787529 62 2012     S. Batalov & Woltman
    62363886917439 61 2012     R. Kapek & Woltman
61 9643 62 1992     W. Keller
592491 63 1992     W. Keller
63 9 65 1992     H. Dubner
64 9 67 1969     H. Riesel
66 8699 67 1992     W. Keller
67     3014361063069 71 2012     S. Batalov & Woltman
69     10179039145 70 2008     G. Reynolds
73 6588722461069 74 2012     S. Batalov & Woltman
75 19384433893 76 2008     G. Reynolds
77     48483079235229 79 2013     R. Kapek & Woltman
78 357 80 1992     H. Dubner
79 2126397 83 1993     W. Keller
84 1169 85 1992     H. Dubner
85 903 89 1992     H. Dubner
90 9618969 93 1993     A. Björn & H. Riesel
92 955085 93 1992     W. Keller
94     110178960291 96 2008     G. Reynolds
96 341591 97 1992     W. Keller
4160015 97 1993     W. Keller
98 130893 100 1992     W. Keller
2120097 100 1993     W. Keller
100 56155155 103 2002     J. Fougeron
102 4471503 105 2002     J. Fougeron
104 2025775895 105 2008     G. Reynolds
110 207340257005 111 2012     S. Batalov & Woltman
112     21929394006927 115 2012     R. Kapek & Woltman
113 141 117 1992     H. Dubner
115 223896729303 117 2012     S. Batalov & Woltman
118 136811 119 1992     W. Keller
40522691337 120 2008     G. Reynolds
126 5 127 1992     H. Dubner
11 127 1992     H. Dubner
133 2675527 134 1996     A. Björn & H. Riesel
136 4471559 137 2002     J. Fougeron
333527817 140 2003     J. Fougeron
437753361 140 2003     J. Fougeron
137 1470663307 138 2008     G. Reynolds
141 129803547 143 2003     J. Fougeron
149 74694780825 152 2008     G. Reynolds
150 65400114423 152 2008     G. Reynolds
152 11776545 154 2002     J. Fougeron
156 455585 157 1993     W. Keller
157 16263955 158 2002     J. Fougeron
166 191 167 1992     H. Dubner
13653389 167 2002     J. Fougeron
179 211411 180 1993     W. Keller
187 13 188 1992     H. Dubner
192 888440951 193 2004     J. Fougeron
    1044500744273 193 2014     S. Batalov & Woltman
197 119361 199 1993     W. Keller
199 3672007 200 2002     J. Fougeron
2204931703 200 2008     G. Reynolds
201 7225 202 1992     H. Dubner
6809256565 202 2009     G. Reynolds
203 3 209 1969     H. Riesel
213 113471353 214 2008     A. Wesołowski
232 1428207911 233 2009     G. Reynolds
244 237 247 1992     H. Dubner
255 977545 256 1995     A. Björn & H. Riesel
261 55 262 1992     H. Dubner
275 117007 276 1993     W. Keller
280 445894317 284 2008     A. Wesołowski
286 478436987 287 2008     A. Wesołowski
291 558726177 294 2008     A. Wesołowski
295 1454803 296 1995     A. Björn & H. Riesel
298 267 300 1992     H. Dubner
319 7 320 1992     H. Dubner
342 26247 346 1993     W. Keller
344 41139 347 1993     W. Keller
370 5309 371 1992     H. Dubner
373 1093 374 1992     H. Dubner
376 36175223 377 2003     J. Fougeron
380 105 382 1992     H. Dubner
383 169638007 384 2008     A. Wesołowski
389 7 390 1992     H. Dubner
392 24099203 393 2003     N. S. Melo & Fougeron
403 16521 405 1992     W. Keller
414 609899283 416 2008     A. Wesołowski
425 119661 429 1994     A. Björn & H. Riesel
431 7 432 1992     H. Dubner
444 479517 446 1995     A. Björn & H. Riesel
538 2891729 539 1996     A. Björn & H. Riesel
595 668001 597 1995     A. Björn & H. Riesel
599 1923733107 602 2012     G. Reynolds & Jobling
637 78180025 638 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
641 15295 642 1993     W. Keller
652 954084551 653 2009     G. Reynolds
662 891 664 1992     H. Dubner
829 7 830 1992     H. Dubner
855 139695 858 1994     A. Björn & H. Riesel
271869 858 1995     A. Björn & H. Riesel
1066 9592877 1067 2006     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1085 23386513 1086 2007     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1147 7786255 1148 2006     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
379256145 1149 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1192 20937 1200 1996     A. Björn & H. Riesel
1256 160446155 1257 2005     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1279 87333 1281 1997     W. Keller  (Prime: J. McLean)
1378 10939895 1379 2007     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1379 81 1384 1992     H. Dubner
1420 357 1422 1992     H. Dubner
1537 933273345 1542 2011     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1667 171410341 1668 2005     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1670 64354829 1671 2009     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1675 921 1680 1992     H. Dubner
1686 863835 1688 2001     N. S. Melo & Gallot
1714 183329 1715 2001     N. S. Melo, Jobling, Woltman & Fougeron
1817 1053429 1819 2003     N. S. Melo & Fougeron
1885 63807 1887 1997     J. McLean
1923 520299847 1924 2009     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
2178 52169 2179 1997     W. Keller
2278 9350111 2279 2002     J. Fougeron
2294 9 2297 1992     H. Dubner
2328 706757937 2331 2013     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
2822 123668261 2823 2012     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
2973 43 2974 1992     H. Dubner
2992 185 2993 1992     H. Dubner
3575 61008105 3578 2011     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
3903 25 3904 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
4202 53135 4203 1999     J. McLean & Gallot
4437 19 4438 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
4542 11 4543 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
4642 21 4644 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
4686 5 4687 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
4726 29 4727 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
4778 1742433 4781 2005     S. Harvey, Fougeron & Woltman
5108 23144135 5109 2012     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
5570 10236359 5571 2003     J. Fougeron
5703 5383 5704 1998     W. Keller & Gallot
5874 2031 5876 1998     W. Keller & Gallot
5952 855 5958 1995     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
6341 33 6346 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
6542 1635 6544 2000     W. Keller & Gallot
6762 303 6764 1995     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
6801 15 6804 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
6978 21 6981 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
7058 417 7063 1995     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
7180 644505 7182 2005     N. S. Melo & Fougeron
7337 4071 7341 1996     H. Dubner  (Prime: P. Demichel)
7479 1428307 7480 2005     N. S. Melo & Fougeron
7516 46703 7517 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
7586 96629 7587 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
7964 9 7967 1992     H. Dubner
(Prime: A. O. L. Atkin & N. W. Rickert 1979)
8070 30813 8072 1999     P. Saridis & Gallot
8327 69907 8328 2002     J. McLean & Gallot
8378 621 8380 1995     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
8560 49797593 8561 2014     T. Nohara & Fougeron
8677 4746547 8678 2010     T. Nohara, Fougeron & Penné
9195 18508485 9199 2013     T. Nohara, Fougeron & Penné
9429 9 9431 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
9617 120283 9618 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
10240 725 10241 1998     R. Ballinger & Gallot
10397 81 10399 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
12187 81 12189 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
14131 2889 14133 2005     S. Harvey, Fougeron & Woltman
14450 1651409 14451 2010     T. Nohara, Fougeron & Penné
16065 9375 16069 2006     S. Harvey, Fougeron & Woltman
17681 2883651 17683 2012     S. Batalov, Jobling & Fougeron
18201 21607 18202 2006     S. Harvey, Fougeron & Woltman
20236 1059 20238 1996     H. Dubner  (Prime: P. Demichel)
22336 10005 22339 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
22385 7 22386 1992     H. Dubner
25673 101277 25676 2011     Y. Choliy & Fougeron
25814 1464609 25819 2015     A. Nordin & Fougeron
26105 9649 26106 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
26662 955847 26663 2013     F. Le Foulher & Fougeron
28283 81 28285 1998     Y. Gallot  (Prime: T. Taura 1996)
29621 57 29623 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
31982 41615 31983 2008     R. Keiser, Fougeron & Penné
32015 45 32018 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
32185 141 32192 1998     Y. Gallot  (Prime: C. Caldwell)
34185 463507 34186 2011     C. van der Westhuizen & Gallot
35859 415 35860 2000     M. I. Hartley & Gallot
36016 3921 36019 2005     P. Samidoost & Fougeron
37247 33 37249 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1993)
37526 60945 37529 2006     A. Cano & Fougeron
38022 569 38023 2000     J. Santala & Gallot
40687 69 40691 1998     Y. Gallot  (Prime: P. Demichel 1997)
40936 95 40937 1998     Y. Gallot  (Prime: P. Demichel 1997)
43379 15 43388 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
43480 284601 43484 2015     T. Rajala, Brazier & Fougeron
45344 581 45345 2001     N. S. Melo & Gallot
47285 483 47288 2000     N. S. Melo & Gallot
51312 545 51313 2000     D. Davis & Gallot
51480 151059 51482 2014     S. Batalov & Rodenkirch
53045 3145 53046 2002     G. Axelsson, Jobling, Woltman & Gallot
56873 397 56874 2000     N. S. Melo & Gallot
59733 1005 59735 2002     G. Axelsson, Jobling, Woltman & Gallot
61210 9689 61211 2005     M. R. Eaton, Jobling, Woltman & Gallot
63003 501 63005 2000     R. K. Eckhard & Gallot
67941 9 67943 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
73614 42777 73616 2013     F. Le Foulher & Fougeron
87219 435 87221 2000     D. Davis & Gallot
95329 7 95330 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
125213 63 125218 1999     T. Taura & Gallot
141944 19289 141945 2012     S. Batalov, Jobling & Fougeron
155215 931 155216 2005     D. Bedwell, Jobling, Penné & Fougeron
157163 3 157169 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
187912 8945     187913 2011     L. Vogel, Reynolds, Penné & Fougeron
213316 3     213321 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
222859 63     222861 2001     T. Taura & Gallot
228539 1035     228541 2005     P. Benson, Jobling, Woltman & Fougeron
263407 63     263413 2002     T. Taura & Gallot
286670 357     286672 2005     S. Harvey, Fougeron & Woltman
300479 15     300488 2002     P. Samidoost, Fougeron & Woltman
303086 3     303093 1998     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
304604 9     304607 1998     R. Ballinger & Gallot
382443 3     382449 1999     J. B. Cosgrave & Gallot
458710 45     458712 2007     W. Keller & Fougeron
(Prime: M. Crosa, Jobling & Penné)
459520 3203     459521 2009     G. Slomma, Reynolds, Penné & Fougeron
461077 9     461081 2003     T. Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
495728 243     495732 2007     R. Keiser, Jobling, Penné & Fougeron
512995 39     512997 2005     P. Grobstich, Jobling, Woltman & Gallot
525588 11     525589 2003     M. R. Eaton, Jobling & Fougeron
525974 345     525977 2007     M. G. Neves, Jobling, Woltman & Gallot
561815 7     561816 2006     M. Rodenkirch & Fougeron
(Prime: P. Samidoost & Gallot 2003)
588323 351     588325 2009     B. Courty, Reynolds, Penné & Fougeron
684559 13     684560 2003     P. Grobstich, Jobling, Woltman & Gallot
789905 5215     789906 2012     A. Reber, Reynolds, Penné & Fougeron
988693 225     988695 2010     S. Harvey, Reynolds, Penné & Fougeron
1224758 3471     1224763 2013     R. Ready, Reynolds, Penné & Fougeron
1284991 1957     1284992 2014     M. Kadohara, Reynolds, Penné & Fougeron
1343346 11     1343347 2005     M. R. Eaton, Jobling, Woltman & Fougeron
1418601 15     1418605 2006     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
1491851 7     1491852 2005     T. Nohara & Fougeron
(Prime: S. Yamada, Jobling, Woltman & Fougeron)
1580856 87     1580858 2011     Q. Liao, Reynolds, Penné & Fougeron
1777514 5     1777515 2005     T. Nohara & Fougeron
(Prime: S. Yamashita, Jobling, Woltman & Fougeron)
1824867 39     1824871 2011     S. Kõluvere, Reynolds, Penné & Fougeron
1861731 13     1861732 2005     P. Grobstich, Jobling, Woltman & Gallot
1960078 225     1960083 2013     R. Ready, Reynolds, Penné & Fougeron
2081774 107     2081775 2013     S. Batalov, Reynolds, Penné & Fougeron
2115468 189     2115473 2014     B. Cavnaugh, Reynolds, Penné & Fougeron
2145348 3     2145353 2003     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2158470 1179     2158475 2014     R. Scalise, Reynolds, Penné & Fougeron
2478776 3     2478785 2003     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2543549 9     2543551 2011     S. Brown, Reynolds, Penné & Fougeron
3511773 7     3511774 2008     C. Cooper, Jobling, Woltman & Fougeron
4246381 15     4246384 2013     S. Batalov, Reynolds & Fougeron

Summary of factoring status for numbers  Fm(6)

Prime   m = 0, 1, 2
Completely factored m = 3 (two factors), 4, 5, 6 (three factors each),
       7 (seven factors), 8 (three factors), 9 (five factors)
Three prime factors known m = 25, 35, 37, 40, 136
Two prime factors known m = 10*, 11*, 12*, 20*, 23, 27, 33, 57, 59, 61, 96, 98, 118,
       126, 166, 192, 199, 201, 855, 1147
Only one prime factor known m = 13*, 14*, 15*, 16*, 17*, 18*, 19*, 21*, 22, 24, 26, 32,
       34, 36  and 222 values of  m  with  36 < m ≤ 4246381
Character unknown   m = 28, 29, 30, 31, 38, 41, 45, 46, 48, 51, 52, 53, . . .
* Cofactor composite  

317 prime factors known
268 numbers  Fm(6)  known to be composite

Count of factors according to difference  nm

nm   = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,  12
Frequency 149,   73,   39,   23,   18,   7,   3,   1,   3,   1


 Full names of researchers 
with specification of contributions to bases  b = 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12

Names given without initials in the discoverer column above refer to an indirect involvement of programmers
whose software was essential for the discovery of the particular prime factor: Brazier (PPSieve),
Fougeron (FermFact, PFGW), Gallot (Proth), Jobling (NewPGen), Penné (LLR), Reynolds (Srsieve), Woltman (PRP, mmff).

Please send new factors to Wilfrid Keller.


Last modified: November 7, 2016.