Prime factors of generalized Fermat numbers
 F'm(3) = Fm(3) / 2
and complete factoring status

Compiled by Wilfrid Keller

Factorizations in standard notation

 Primes:   F'1(3) = 5,   F'2(3) = 41,   F'4(3) = 21523361,   F'5(3) = 926510094425921,
               F'6(3) = 1716841910146256242328924544641
 F'3(3) = 17 · 193
 F'7(3) = 257 · 275201 · 138424618868737 · 3913786281514524929 · P21
 F'8(3) = 12289 · 8972801 · 891206124520373602817 · P90
 F'9(3) = 134382593 · 22320686081 · 12079910333441 · 100512627347897906177 ·    
              185203545384014444998415700339182963094565346115682981302539\    
679248192554448695865898272140289 · P101
F'10(3) = 59393 · 448524289 · 847036417 · C466
F'11(3) = 790529 · 524455937 · C963
F'12(3) = C1954
F'13(3) = 8468256208273409 · C3893
F'14(3) = 7814629721992554719390301061121 · C7786
F'15(3) = 65537 · 786433 · 3041503300933451777 · 951901181416549122049 · C15584
F'16(3) = 33033842491392559808513 · C31246
F'17(3) = C62537
F'18(3) = C125075
F'19(3) = 13631489 · 72029899522572289 · C250125
F'20(3) = C500298
F'21(3) = 155189249 · 114135647911937 · 9434973308190721 · C1000558
F'22(3) = 512349003254811590657 · C2001171

The above prime factors  k · 2n + 1  for  m > 7

m k n     Year     Discoverer
8 3     12 1992     H. Dubner
17525 9 1993     A. Björn & H. Riesel
   1740636961953854693 9 1994     A. Björn & H. Riesel
[88 digits] 9 1994     A. Björn & H. Riesel
9 131233     10 1993     A. Björn & H. Riesel
21797545     10 1993     A. Björn & H. Riesel
11796787435     10 1994     A. Björn & H. Riesel
98156862644431549     10 1994     A. Björn & H. Riesel
[90 digits] 10 2008     T. Womack
[96 digits] 15 2008     T. Womack
10 29     11 1992     H. Dubner
109503     12 1993     A. Björn & H. Riesel
51699     14 1993     A. Björn & H. Riesel
11 193     12 1992     H. Dubner
128041     12 1993     A. Björn & H. Riesel
13 516861340837     14 2004     J. Fougeron
14 [27 digits]     15 2009     G. Reynolds
15 1     16 1992     H. Dubner
3     18 1992     H. Dubner
46409657301841     16 2008     G. Reynolds
3631214833894917     18 2008     G. Reynolds
16    252028217250004271     17 2009     G. Reynolds
19 13     20 1992     H. Dubner
17173266297     22 2004     J. Fougeron
21 37     22 1992     H. Dubner
27212059     22 1993     A. Björn & H. Riesel
1124736465     23 2004     J. Fougeron
22 61076760680057     23 2013     S. Batalov & Woltman

27 digit  k = 238483573058854819317330965
90 digit  k = 18086283728907660644376533236248336239703647081609\    
6661428261405515813041453804556541281387

Prime factors  k · 2n + 1  of numbers  F'm(3)  for larger  m

m k n     Year     Discoverer
26 3     30 1992     H. Dubner
6773531     27 1993     A. Björn & H. Riesel
28 23     29 1992     H. Dubner
29 9     33 1992     H. Dubner
4205805     35 1993     A. Björn & H. Riesel
30 24799147997     31 2008     G. Reynolds
    841773678561     35 2008     G. Reynolds
    2157767019557     31 2012     S. Batalov & Woltman
31 135     35 1992     H. Dubner
63787     32 1993     A. Björn & H. Riesel
32 3     36 1992     H. Dubner
33 115347853     34 1993     A. Björn & H. Riesel
19738252555     34 2008     G. Reynolds
34 1469     35 1993     A. Björn & H. Riesel
35 76159543     36 1993     A. Björn & H. Riesel
36 3315     38 1993     A. Björn & H. Riesel
38 3     41 1992     H. Dubner
39 21     41 1992     H. Dubner
58065     41 1993     A. Björn & H. Riesel
44 443     45 1992     H. Dubner
472908359     45 1994     A. Björn & H. Riesel
45 57     48 1992     H. Dubner
47 97151685     49 1993     A. Björn & H. Riesel
49 7     50 1992     H. Dubner
50 16783810689     54 2008     G. Reynolds
51 99     53 1992     H. Dubner
54 5     55 1992     H. Dubner
1713005     55 1993     A. Björn & H. Riesel
56 615     59 1992     H. Dubner
60 1905     62 1993     A. Björn & H. Riesel
61 9     63 1992     H. Dubner
63 3     66 1992     H. Dubner
64 9     67 1992     H. Dubner
69281656731     67 2008     G. Reynolds
    12093892381215     66 2013     T. Rajala & Woltman
72 201     75 1992     H. Dubner
791388525     74 1994     A. Björn & H. Riesel
6416017685     73 2008     G. Reynolds
73 1947709     74 1993     A. Björn & H. Riesel
79 9     81 1992     H. Dubner
80 11     81 1992     H. Dubner
79815     83 1993     A. Björn & H. Riesel
333383     81 1993     A. Björn & H. Riesel
82 117567     84 1993     A. Björn & H. Riesel
83 469440927     87 1994     A. Björn & H. Riesel
90 2366505     92 1993     A. Björn & H. Riesel
91 235     92 1992     H. Dubner
92 29384505     95 1993     A. Björn & H. Riesel
230442747     95 1993     A. Björn & H. Riesel
21307862363     93 2008     G. Reynolds
93     2663196348259     94 2012     S. Batalov & Woltman
94 2241     96 1993     A. Björn & H. Riesel
95 2263     96 1993     A. Björn & H. Riesel
3585863983     96 2008     G. Reynolds
55123483555     96 2008     G. Reynolds
98 14111766939     103 2008     G. Reynolds
100 328541     101 1995     A. Björn & H. Riesel
103 61860195     106 2003     J. Fougeron
104 119538173405     105 2012     S. Batalov & Woltman
206556851189     105 2012     S. Batalov & Woltman
111 60745365     114 2003     J. Fougeron
116 33198657177     118 2008     G. Reynolds
123 163     124 1992     H. Dubner
125 84669     130 1993     W. Keller
126 5     127 1992     H. Dubner
127 519699     130 1995     A. Björn & H. Riesel
128 50145     130 1993     W. Keller
132 12782163     134 2003     N. S. Melo & Fougeron
137 11122564455     140 2008     G. Reynolds
139 31     140 1992     H. Dubner
146 31336461     149 2003     J. Fougeron
149 75079457257     150 2008     G. Reynolds
152 508336533     154 2003     J. Fougeron
155 5835     157 1993     A. Björn & H. Riesel
158 9     162 1992     H. Dubner
160 3393037925     161 2008     G. Reynolds
161 75     163 1992     H. Dubner
24644095597     162 2008     G. Reynolds
170 2980463489373     172 2013     S. Batalov & Woltman
176 24310928907     179 2008     G. Reynolds
177 2051006549061     179 2013     S. Batalov & Woltman
181 370291543969     182 2014     S. Batalov & Woltman
185 27828987     191 2003     N. S. Melo & Fougeron
1784229339435     187 2016     S. Batalov & Woltman
186 326129     187 1995     A. Björn & H. Riesel
187 3     189 1992     H. Dubner
190 1240333475     191 2008     G. Reynolds
198 3     201 1992     H. Dubner
199 427     200 1992     H. Dubner
201 1084036041     204 2009     G. Reynolds
207 3     209 1992     H. Dubner
208 3369     213 1993     A. Björn & H. Riesel
4043684821205     209 2016     S. Batalov & Woltman
212 1167341     213 1995     A. Björn & H. Riesel
222 4113881     223 2003     J. Fougeron
241 535     242 1992     H. Dubner
2593258869     243 2009     G. Reynolds
245 58059     247 1993     W. Keller
266 17     267 1992     H. Dubner
268 184305     270 1995     A. Björn & H. Riesel
271 3     276 1992     H. Dubner
297 124695315     299 2008     A. Wesołowski
310 115573355     311 2008     A. Wesołowski
319 7     320 1992     H. Dubner
81     324 1992     H. Dubner
346 21982025     347 2003     N. S. Melo & Fougeron
350 30305     351 1993     W. Keller
354 9583505     355 2003     N. S. Melo & Fougeron
359 367     360 1992     H. Dubner
369 6625540885     370 2009     G. Reynolds
370 45     372 1992     H. Dubner
197     371 1992     H. Dubner
488501     371 1995     A. Björn & H. Riesel
392 281     393 1992     H. Dubner
394 78827793     396 2003     J. Fougeron
397 91213027     398 2003     J. Fougeron
403 3     408 1992     H. Dubner
435 3     438 1992     H. Dubner
444 15501     447 1993     W. Keller
446 4364271     448 2003     N. S. Melo & Fougeron
463 19107     466 1993     W. Keller
468 76414911     472 2008     G. Axelsson & Fougeron
481 348825127     482 2008     A. Wesołowski
513 9323145     517 2003     N. S. Melo & Fougeron
518 24171     521 1993     W. Keller
531 3     534 1992     H. Dubner
544 58545599     545 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
545 16956681     547 2003     J. Fougeron
559 131651739     565 2009     G. Reynolds
577 223687     578 1995     A. Björn & H. Riesel
588 574893281     589 2009     G. Reynolds
602 2544993     606 1996     A. Björn & H. Riesel
688 159     690 1992     H. Dubner
710 89     711 1992     H. Dubner
720 2437679     721 1996     A. Björn & H. Riesel
792 183     794 1992     H. Dubner
72906039     794 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
837 69     842 1992     H. Dubner
838 1191557127     840 2012     G. Reynolds & Jobling
839 66913     840 1993     W. Keller
194455     840 1995     A. Björn & H. Riesel
849 5127     852 1994     A. Björn & H. Riesel
896 15     900 1992     H. Dubner
897 499     898 1992     H. Dubner
899 33459     901 1993     W. Keller
931 669     933 1992     H. Dubner
947 57571     948 1993     W. Keller
999 13     1000 1992     H. Dubner
1006 7088511     1008 2006     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1019 2949     1021 1993     H. Dubner
1089 10647     1091 1993     H. Dubner
1097 30045861     1099 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1128 713367     1132 2001     N. S. Melo & Gallot
1303 9     1305 1992     H. Dubner
1346 201     1348 1992     H. Dubner
1488 9     1494 1992     H. Dubner
1498 569     1499 1993     H. Dubner
1566 93374927     1567 2011     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1642 93     1646 1992     H. Dubner
1698 7161     1700 1996     A. Björn & H. Riesel
1774 12041     1775 1996     A. Björn & H. Riesel
1786 489     1789 1992     H. Dubner
1805 1452705     1812 2003     N. S. Melo & Fougeron
1839 103093     1840 2001     N. S. Melo & Fougeron
1854 550743     1857 2001     N. S. Melo & Fougeron
1866 16487     1867 1996     A. Björn & H. Riesel
1933 571632487     1934 2010     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1966 21     1969 1992     H. Dubner
1987 5741121     1992 2006     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
2002 35165     2003 1997     W. Keller
2022 4503     2024 1996     A. Björn & H. Riesel
2197 3     2208 1992     H. Dubner
2277 919641     2281 2003     N. S. Melo & Fougeron
2324 10552599     2327 2011     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
2337 8839089     2339 2011     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
2366 5631321     2369 2011     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
2706 23171     2707 1997     W. Keller
2711 721     2712 1993     H. Dubner
2822 9     2826 1992     H. Dubner
2843 1045     2844 1993     H. Dubner
2884 41453     2885 1997     W. Keller
2917 5473     2918 1994     A. Björn & H. Riesel
2971 18463861     2972 2004     J. Fougeron
3160 3     3168 1992     H. Dubner
3177 231045     3180 2003     N. S. Melo & Fougeron
3187 3     3189 1992     H. Dubner
3256 74514251     3257 2011     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
3280 623     3281 1993     H. Dubner
3302 10455     3304 1997     W. Keller
3527 43     3528 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
33513     3530 2002     W. Keller & Gallot
(Prime: J. McLean & Gallot 1999)
3684 9     3690 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
3687 314011     3688 2003     N. S. Melo & Fougeron
3906 3     3912 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
3989 602304621     3993 2014     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
4028 292185731     4029 2014     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
4035 25747     4036 1998     Jo Y. U. & Gallot
4479 334075     4480 2004     N. S. Melo & Fougeron
4726 29     4727 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
4838 9     4842 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
4987 11298211     4988 2003     J. Fougeron
5431 4611     5433 1998     W. Keller & Gallot
5652 317681     5653 2004     N. S. Melo & Fougeron
5748 430011     5751 2004     N. S. Melo & Fougeron
6322 52101     6324 2004     J. McLean & Gallot
6350 243     6354 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
7413 3015889     7414 2004     J. Fougeron
7459 997     7460 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
8004 1835     8005 1999     Jo Y. U. & Gallot  (Prime: P. Demichel 1996)
9066 12065553     9068 2013     T. Nohara, Fougeron & Penné
9429 9     9431 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
9769 13191801     9772 2013     T. Nohara, Fougeron & Penné
10191 14953299     10195 2012     M. Tervooren, Jobling & Fougeron
10218 179     10219 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
10222 18681     10225 2000     A. Cano & Gallot
10421 43     10422 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1991)
10605 3199     10606 1999     T. Nohara & Gallot
11411 30721     11412 2001     A. Cano & Gallot
12147 3415     12148 1999     T. Nohara & Gallot
12187 81     12189 1993     H. Dubner
13008 328719     13013 2010     T. Nohara, Fougeron & Penné
13164 5     13165 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1979)
13322 617     13323 2000     N. S. Melo & Gallot
16760 3563     16761 2000     G. N. Gusev & Gallot
17305 4825     17306 1998     R. Ballinger & Gallot  (Prime: P. Demichel 1996)
17462 88965     17464 2008     P. Samidoost & Fougeron
18227 547     18228 1998     R. Ballinger & Gallot  (Prime: P. Demichel 1996)
18793 18997     18794 2006     S. Harvey, Fougeron & Woltman
19241 38955     19244 2006     J. McLean & Gallot
21332 71     21333 1998     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
24800 82943     24801 2006     A. Cano & Fougeron
24990 15     24995 1993     H. Dubner
26923 225     26926 1998     R. Ballinger & Gallot
27833 244467     27835 2012     T. Nohara, Fougeron & Penné
28283 81     28285 1998     Y. Gallot  (Prime: T. Taura 1996)
28461 62865     28465 2006     A. Cano & Fougeron
28594 1037277     28598 2015     T. Rajala, Brazier & Fougeron
30471 10005     30474 2008     A. Wesołowski
30834 195     30836 1998     R. Ballinger & Gallot
32886 155     32887 1998     Y. Gallot
34346 3     34350 1992     H. Dubner
35788 327     35790 2000     N. S. Melo & Gallot
39177 9     39186 1993     H. Dubner
39423 9463     39424 2008     P. Samidoost & Fougeron
42290 3     42294 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1993)
44516 20813     44517 2008     T. Nohara, Fougeron & Penné
44683 3     44685 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1993)
45910 36381     45912 2008     T. Nohara, Fougeron & Penné
46352 197909     46353 2011     L. Morelli & Fougeron
47981 99     47985 1998     Y. Gallot  (Prime: P. Demichel 1997)
48146 3     48150 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1993)
51941 67     51942 1998     A. Swihart & Gallot
51953 14347     51954 2002     G. Axelsson & Gallot
54485 7     54486 1992     H. Dubner  (Prime: J. Young 1987)
54787 3     54792 2003     M. Schröder & Gallot
55178 3     55182 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1993)
59970 3     59973 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
60280 267     60282 2003     N. S. Melo  (Prime: H. Dubner & Gallot 1998)
68177 1365     68179 2008     P. Samidoost & Fougeron
76414 45     76416 1999     G. N. Gusev & Gallot
80187 3     80190 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
95329 7     95330 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
110470 13485     110472 2004     J. Berg & Gallot
125019 46005     125022 2013     H. Overmann & Gallot
129474 6419     129475 2011     R. Reynolds, Reynolds, Penné & Fougeron
129957 427     129958 2001     J. Fougeron
157167 3     157169 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
168090 243     168093 2004     J. Fougeron
192410 65     192411 2000     T. Taura & Gallot
192896 3539     192897 2011     M. Herder, Reynolds, Penné & Fougeron
193673 133     193674 2003     J. Dilick, Jobling & Gallot
197203 1485     197205 2011     A. Schüpstuhl, Reynolds, Penné & Fougeron
213319 3     213321 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
240936 5     240937 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
262210 2009     262211 2006     H. Overmann & Gallot
277529 8919     277531 2012     S. Brown, Reynolds, Penné & Fougeron
303088 3     303093 1998     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
344848 117     344850 2005     J. Fougeron
382447 3     382449 1999     J. B. Cosgrave & Gallot
414530 107     414531 2005     H. Overmann & Gallot
461077 9     461081 2003     T. Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
495726 243     495732 2007     R. Keiser, Jobling, Penné & Fougeron
528292 483     528297 2008     S. Harvey, Fougeron & Penné
555978 243     555984 2007     R. Keiser, Jobling, Penné & Fougeron
573892 1143     573894 2009     D. Laluk, Reynolds, Penné & Fougeron
574504 45     574506 2007     N. S. Melo, Jobling, Woltman & Gallot
597473 163     597474 2005     J. Fougeron
605169 225     605172 2005     J. Fougeron
709962 3     709968 2005     K. P. Adney, Jobling, Woltman & Gallot
768062 35     768063 2006     R. Keiser, Jobling, Penné & Fougeron
801973 3     801978 2005     K. P. Adney, Jobling, Woltman & Gallot
819738 5     819739 2001     M. Toplic & Gallot
831410 35     831411 2006     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
916771 3     916773 2001     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
922543 873     922545 2010     R. Eckhard, Reynolds, Penné & Fougeron
1142980 101     1142981 2011     S. Harvey, Reynolds, Penné & Fougeron
1154616 83     1154617 2010     P. Saridis, Jobling, Penné & Gallot
1276174 15     1276177 2006     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
1282754 5     1282755 2002     M. Toplic & Gallot
1433852 95     1433853 2011     Z. Zhan, Reynolds, Penné & Fougeron
1499875 13     1499876 2004     P. Grobstich, Jobling, Woltman & Gallot
1832490 3     1832496 2007     J. Bohanon, Jobling, Penné & Fougeron
1990298 17     1990299 2006     P. Grobstich, Jobling, Woltman & Gallot
2143383 753     2143388 2014     T. Nakamura, Reynolds, Penné & Fougeron
2145351 3     2145353 2003     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2230368 11     2230369 2011     V. Vinklát, Reynolds, Penné & Fougeron
2291607 3     2291610 2008     L. Vogel & Fougeron
(Prime: T. Wolfram, Reynolds & Penné)
2478782 3     2478785 2003     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2543549 9     2543551 2011     S. Brown, Reynolds, Penné & Fougeron
2705360 39     2705367 2013     G. Craig, Reynolds, Penné & Fougeron
2897408 11     2897409 2013     P. Kurtovic, Reynolds, Penné & Fougeron
5082303 3     5082306 2009     M. Wunder & Fougeron
(Prime: A. Brady, Reynolds & Penné)
7033639 3     7033641 2011     J. M. Blazek & Fougeron
(Prime: M. Herder, Reynolds & Penné)
10829343 3     10829346 2014     S. Y. Tang, Reynolds, Penné & Fougeron

Summary of factoring status for numbers  F'm(3)

Prime   m = 1, 2, 4, 5, 6
Completely factored m = 3 (two factors), 7 (five factors), 8 (four factors),
       9 (six factors)
Four prime factors known m = 15*
Three prime factors known m = 10*, 21*, 30, 64, 72, 80, 92, 95, 370
Two prime factors known m = 11*, 19*, 26, 29, 31, 33, 39, 44, 54, 104, 161, 185,
       208, 241, 319, 792, 839, 3527
Only one prime factor known m = 13*, 14*, 16*, 22*, 28, 32, 34, 35, 36, 38, 45, 47,
       and 253 values of  m  with  51 < m ≤ 10829343
Composite but no factor known   m = 12, 17, 18, 20TS, 23SB
Character unknown   m = 24, 25, 27, 37, 40, 41, 42, 43, 46, 48, 52, 53, . . .
* Cofactor composite   TS T. Sorbera, June 2010;  SB S. Batalov, June 2010

349 prime factors known
302 numbers  F'm(3)  known to be composite

Count of factors according to difference  nm

nm   = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,  11
Frequency 155,   80,   51,   30,   16,   12,   2,   1,   1,   1


 Full names of researchers 
with specification of contributions to bases  b = 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12

Names given without initials in the discoverer column above refer to an indirect involvement of programmers
whose software was essential for the discovery of the particular prime factor: Brazier (PPSieve),
Fougeron (FermFact, PFGW), Gallot (Proth), Jobling (NewPGen), Penné (LLR), Reynolds (Srsieve), Woltman (PRP, mmff).

Please send new factors to Wilfrid Keller.


Last modified: September 18, 2016.